特に心配だったのが浮動小数点演算である。（中略）浮動小数点演算がなければ、まともな月面着陸ゲームはつくれない。『ビル・ゲイツ自伝I』（早川書房, 2025）

書影

拙著『コンピュータでとく数学』について，こんな質問がありました．

p.29 に倍精度での $\pi$ の近似値は $884279719003555/281474976710656$ とありますが，$245850922/78256779$ でよいのではないでしょうか．

良い質問です．というか，そんなに丁寧に読んでもらえるとは思わなかったというのが正直なところです．

木村良夫『パソコンで遊ぶ数学』（講談社, 1986）が国立国会図書館デジタルコレクションで公開されていたので，それを参照する形に書き直しました（参照：調査のメモ）．タロウ少年が知りたかっただろうことは，おそらく全部書きました．

短い回答

次の二つの話があります．

  1. 数 $x$ に最も近い浮動小数点数が A であること．
  2. 浮動小数点数での除算 M/N の結果が A と等しくなること（ここで M と N は整数）．

『コンピュータでとく数学』で重要なのは 1 です．

今日標準的に使われる浮動小数点数（IEEE 754 の binary64）で表現できる，$\pi$ の最良の近似値は，$s=0, e=10000000000_2, f=1001001000011111101101010100010001000010110100011000_2$ として，

\[(-1)^s (1 + 2^{-52}f) 2^{(e - 1023)}=\dfrac{884279719003555}{281474976710656}=\mathbf{3.141592653589793}115997963468544185161590576171875\]

です．これ以降，コンピュータが保持するこの値を A とします．

2 の例として，$m=245850922, n=78256779$ が挙げられます．数学的には $\dfrac{245850922}{78256779}\neq\dfrac{884279719003555}{281474976710656}$ ですが，浮動小数点数の計算では，245850922/78256779 の結果と 884279719003555/281474976710656 の結果は，どちらも A になります．

長い回答（話）

浮動小数点数の計算で M/N が A と等しくなるような整数 M と N を探す，という話があります．筆者はそれを， 木村良夫『パソコンで遊ぶ数学』（講談社, 1986） で知りました（以下，木村本といいます）．

まずは，無理数 $\pi$ を有理数で近似しようとする話だと思ってください（本当は少し違います）．

小学校で習う $3.14$ は $\dfrac{314}{100}$ なので，有理数近似の一つです．$\dfrac{22}{7}$ の方が $\pi$ に近く，場合によっては便利です．

$\pi$ は無理数ですが，有理数は実数の中で稠密なので，適切な整数 $M$ と $N$ を選べば，$\dfrac{M}{N}$ は限りなく $\pi$ に近づけられます．

しかし，浮動小数点数で表現できる数の種類は有限で，binary64 なら，最良の近似は $\dfrac{884279719003555}{281474976710656}$ であることがわかっています．さらに，浮動小数点数の計算では丸めが行われるので，先述のように，245850922/78256779 のような計算でも同じ値になります．

この 245850922 や 78256779 をどうやって見つけるか，という話です．正確に言えば， $\pi$ を有理数 $\dfrac{M}{N}$ で近似するのではなく，浮動小数点数における $\pi$ の最良近似 A と同じ値になる整数の除算 M/N を見つける，ということです．

① 木村本（素朴な方法）

分母 N を 1 とします．M/N が A になればいいので，M は INT(A*N) か INT(A*N+1) のいずれかにすればよさそうです．良い方，つまり M/N が A に近くなる方を採用して，M/N が A に等しくなければ N を 1 増やします．

これが木村本の戦略です．厳密に計算するなら正しそうですが，浮動小数点数なので，確信とまでは行きません．

木村本の図3.1 のコードを示します．LPRINT を PRINT に変更し，欲しいものが見つかったら止まるように 185 を追加しました．

100 REM ***** Fraction.1986.8.29
110  A=4*ATN(1)
120  N=1:D=1
130  L=A*N
140  M=INT(L)
150  IF M+1-L<L-M THEN M=M+1
160  E=ABS(A-M/N)
170  IF E>=D GOTO 200
180  PRINT M;"/";N,M/N
185  IF E=0 THEN END
190  D=E
200  N=N+1
210  GOTO 130

最初に 110 で，目標となる $\pi$ の最良の近似値を設定しようとしています．ATN は $\arctan$，つまり $\tan$ の逆関数です．$\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1$ なので，$\arctan(1)=\dfrac{\pi}{4}$，したがって $\pi=4\arctan(1)$ です．小中学生へ：角 $B$ が直角の三角形 $ABC$ で，$\angle BAC$ を度数法で表すとき，$\tan\left(\dfrac{\pi\angle BAC}{180}\right)=\dfrac{BC}{AB}$ と定めます．$ABC$ が直角二等辺三角形，つまり $\angle BAC=45^\circ$ のとき，$\tan\left(\dfrac{45\pi}{180}\right)=\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{1}{1}=1$ です．

MSX-BASIC なら，これでうまく行きます．

昭和のある日，高性能な MSX2 を持っていた友人 S に，このコードを電話で読み上げて伝えて，実行してもらおうとしました（付き合ってくれる S がすごいですね．何て頼んだんだろう）．コードが誤って伝わり，正しく実行できなかったのを，S のお父さんが直してくれて，結果をプリンタで出力してくれたことに驚愕しました．（インターネットのメールはなく，家庭用のプリンタも珍しかった時代です．）

子供には心の支えになる大人の存在が必要ですから。　 山田鐘人・アベツカサ『葬送のフリーレン』第29話「理想の大人」

MSX のエミュレータである blueMSX の Emulation Speed を 1000% にして試しました（途中で停止したい場合はCtrl-PageUp）．再現しやすいように，上のコードを保存したディスクイメージを作りました（参考：プログラムのロード方法）．ディスクをセットして，LOAD "PI.BAS" で読み込んで RUN です．ブラウザで動くエミュレータである WebMSX でも試せるかもしれません．同じくブラウザで動く MSXPen はコードを共有できて便利です（こちら）．ただし，エミュレーションの倍率が R800 は2倍，Z80 は8倍までなので，完了までにはかなりの時間がかかるでしょう．

MSXで実行している様子（WIDTH 80）

プログラムは最終的に 10838702 / 3450066 3.1415926535898 を出力して停止します．かなり時間がかかるので，当時はそこまでは行かなかったと思います．そこまで行っていれば，これを約分した 5419351/1725033 を MSX-BASIC で計算したときの表示が 3.1415926535897 となり，約分前の除算結果と異なることに驚いたかもしれません．

MSX-BASIC で採用された浮動小数点数の規格 BCD では，10進数をそのまま格納するので，3.1415926535898 は格納されている値と厳密に一致します．これは，BCD での A です（小数第13位まで一致する 3.1415926535897 より $\pi$ に近い）．

② 木村本（倍精度）

木村本 p.58 では次に，105 DEFDBL A-Z として数を8バイトで表す倍精度にすることが試みられています．木村本に書かれているとおり，この試みはうまく行きません．木村本で使われたパソコン FM-11 の F-BASIC の ATN が数を4バイトで表す単精度なので，4*ATN(1) の結果が A にならないのです．筆者の家にあったパソコン PC-8001 の N-BASIC も同様です．目標となる A を正しく設定できなければ，うまく行くはずがありません．

③ タロウ少年（10進リテラル＋バイト操作）

タロウ少年はおそらく，110 A=4*ATN(1) の代わりに 110 A=3.1415926535897932 を試したはずです．桁数をこれより多くしても PRINT の結果は変わらないから大丈夫，と思ったかもしれません．

ここに罠がありました．

N-BASIC や F-BASIC の浮動小数点数は MBF で，リテラルの 3.1415926535897932 が A にはならないのです．違いを表にまとめます．リテラルの桁数を増やしても結果は変わりません．違いを PRINT で確認できないのがつらいところです．

MBF PRINT の結果 10進表記 16進表記
A 3.1415926535897932 3.141592653589793227020265931059839203953742980957 $0.\mathrm{C90FDAA22168C2}_{16}\times 2^2$
3.1415926535897932 3.1415926535897932 3.1415926535897933380425683935754932463169097900391 $0.\mathrm{C90FDAA22168C4}_{16}\times 2^2$

N-BASIC では，リテラルから A を得るためには，POKE VARPTR(A),&HC2 として，バイト C4 を C2 に書き替えなければなりません（F-BASIC ではバイトの並びが逆だから POKE VARPTR(A)+7,&HC2）

105  DEFDBL A-Z
110  A=3.1415926535897932:POKE VARPTR(A),&HC2
120  N=1:D=1
130  L=A*N
140  M=INT(L)
150  IF M+1-L<L-M THEN M=M+1
160  E=ABS(A-M/N)
170  IF E>=D GOTO 200
180  PRINT M;"/";N,M/N
185  IF E=0 THEN END
190  D=E
200  N=N+1
210  GOTO 130

このように修正して実行すれば，プログラムは長時間の計算の後，657408909 / 209259755 3.141592653589793 を出力して停止します（PC-8801 のエミュレータ M88 の N mode の「全力駆動」で試しました．途中で停止したい場合は F11）．これは，MBF での A です．

PC-8001で実行している様子（WIDTH 80）

④ 木村本（マチンの公式＋マクローリン展開）

木村本 p.60 では，A を得るために別の戦略が採られます．（名前は出てきませんが）マチンの公式とマクローリン展開です．小中学生と高校生へ：これは大学レベルです．例えば，高木貞治『解析概論』の§52で解説されています．因みに，タロウ少年が後に塾の先生に勧められて買った『解析概論』改訂第3版の人名索引には Machin（メイチン） とありました．

\[\frac{\pi}{4}=4\arctan\left(\frac{1}{5}\right)-\arctan\left(\frac{1}{239}\right)\qquad\text{（マチンの公式）}\] \[\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\frac{x^9}{9}-\cdots\qquad\text{（マクローリン展開）}\]

最初に掲載されるコードには問題があり，最終的に，次のようなコードが使われることになります（バイト列を確認するために，181-184 を追加しました）．

100 REM ***** PAI 1986.9.1
110  DEFDBL X,Y,Z
120  K=11
130  X=.2#
140  GOSUB 190
150  Z=Y
160  X=.00418410041841#
170  GOSUB 190
180  PRINT 16*Z-4*Y
181  DEFDBL A:A=16*Z-4*Y:P=VARPTR(A)
182  FOR I=0 TO 7
183    PRINT RIGHT$("0"+HEX$(PEEK(P+I)),2);" ";
184  NEXT
185  END
190 REM *** arctan
200  Y=0
210  FOR I=1 TO K
220    J=2*I-1
222    IF I MOD 2 =0 GOTO 235
230    Y=Y+X^J/J:GOTO 240
235    Y=Y-X^J/J
240  NEXT I
250 RETURN

F-BASIC での実行結果を示します．

3.141592653589793
82 49 0F DA A2 21 68 C7

3.141592653589793 なので良さそうに見えますが，バイト列を見ると，C2 になるべきところが C7 になっているので，これは A ではありません．ですから，この結果を使うコード（木村本の図3.7）は誤りなのですが，木村本の図3.8 に掲載されている範囲の結果は正しいです（誤りが顕在化するのはもっと先）．

マクローリン展開の項数を増やす，除算の精度を高める，高次の項から計算するように修正するとうまく行きます．

120  K=12
160  X=1/239#
210  FOR I=K TO 1 STEP -1

修正後の実行結果を示します．

3.141592653589793
82 49 0F DA A2 21 68 C2

最後が C2 なので，A を得たことがわかります．値自体は異なりますが，この方法は MSX-BASIC でもうまく行きます．

しかし，この修正後のコードが掲載されていたとしても，タロウ少年の PC-8001 の N-BASIC では，べき乗を計算する ^ が単精度なので，うまく行かなかったでしょう．べき乗をループで代替してもダメでしょう．因みに，FM-7 の F-BASIC は N-BASIC と同様 ^ が単精度なのですが，ループで代替すればうまく行きます．

タロウ少年が気付いたはずはありませんが，マクローリン展開を $\arctan\left(\frac{1}{5}\right)$ は $12$ 次， $\arctan\left(\frac{1}{239}\right)$ は $3$ 次までにして，Horner 形で計算すればうまく行きます（詳細）．A を得るコードを示します．

10 DEFDBL A-H,N-Z
20 K=12:X=1#/5#:GOSUB 200:U=Y
30 K=3:X=1#/239#:GOSUB 200:V=Y
40 A=16#*U-4#*V
50 PRINT A
60 END
200 Y=0
210 FOR I=K TO 1 STEP -1
220 C=1#:IF I MOD 2=0 THEN C=-1#
230 Y=C/(2#*I-1#)+X*X*Y
240 NEXT I
250 Y=X*Y
260 RETURN

F-BASIC，N-BASIC，MSX-BASIC の全てで修正無しに動くので，このコードが木村本に掲載されていたら文句なしでした．タロウ少年が成長してC言語を使うようになると，これをC言語の double（binary64）に直訳してもうまく行かず，さらなる工夫をすることになるわけですが．

⑤ 木村本（連分数）

木村本 p.68 に掲載されている結果（図3.8）を，③で示したコードで再現します（最後の3行は筆者の追記）．このあたりでは，A の近似値の1バイトの違いの影響はありません．

3 / 1         3
13 / 4        3.25
16 / 5        3.2
19 / 6        3.166666666666667
22 / 7        3.142857142857143
179 / 57      3.140350877192982
201 / 64      3.140625
223 / 71      3.140845070422535
245 / 78      3.141025641025641
267 / 85      3.141176470588235
289 / 92      3.141304347826087
311 / 99      3.141414141414141
333 / 106     3.141509433962264
355 / 113     3.141592920353982
52163 / 16604               3.141592387376536
52518 / 16717               3.141592390979243
52873 / 16830               3.141592394533571
53228 / 16943               3.141592398040489
（省略）
103993 / 33102              3.141592653011903
104348 / 33215              3.141592653921421

木村本では，分母が $113$ から $16604$ に飛んでいる理由が，次のような $\pi$ の連分数展開にもとづいて考察されています．

\[\pi = 3 + \cfrac{1}{7 + \cfrac{1}{15 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{292 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}}}\]

スペースの節約のために，この連分数を $[3; 7, 15, 1, 292, 1, \cdots]$ と表すような記法を採用します．

連分数は，「整数部分をとり，残りの逆数を求める」という作業を繰り返すことで得られます．

少し計算してみましょう．$\pi=3.14159\cdots$ なので，まず整数部分を取って $3$ を得ます．次に小数部分 $0.14159\cdots$ の逆数を取ると $7.0625\cdots$，その整数部分は $7$ です．その小数部分 $0.0625\cdots$ の逆数を取ると $15.996\cdots$，その整数部分は $15$ です．というわけで，$\pi$ の連分数展開は $3,7,15,\cdots$ となります．

Wolfram言語での例を示します（Wolfram言語には，連分数を求める ContinuedFraction がありますが）．

Reap[Nest[(Sow[IntegerPart[#]]; 1/FractionalPart[#]) &, Pi, 6]][[2, 1]]
(* {3, 7, 15, 1, 292, 1} *)

連分数展開を途中で打ち切って $\pi$ の有理数近似を得ようとすると，$292$ という比較的大きな数が現れるため，その前後で分母が大きく変わる，ということなのでしょう．第6項までの結果をまとめます．

打ち切り 連分数 有理数 10進近似
第1項 $[3]$ $3$ $3$
第2項 $[3;7]$ $22/7$ $3.142857142857\cdots$
第3項 $[3;7,15]$ $333/106$ $3.141509433962\cdots$
第4項 $[3;7,15,1]$ $355/113$ $3.141592920353\cdots$
第5項 $[3;7,15,1,292]$ $103993/33102$ $3.1415926530119\cdots$
第6項 $[3;7,15,1,292,1]$ $104348/33215$ $3.1415926539214\cdots$

確かに $292$ が現れたところで分母は大きく変わりますが，その結果は $16604$ ではなく $33102$ です．③で示したコードで $33102$ が現れるのはかなり先です．

$\dfrac{52163}{16604}$ の出自は木村本ではよくわかりませんが，$[3;7,15]=\dfrac{333}{106},\;[3;7,15,1]=\dfrac{355}{113}$ の次に $[3;7,15,1,k]=\dfrac{355k+333}{113k+106}\;(1\le k<292)$ を想定し，$k=146$ とすると現れます．

連分数展開を使えば A が簡単に得られるのでは，と思うところですが，木村本では話がここで終わってしまいます．

こういう連分数への展開をコンピュータに計算させるプログラムをつくることもおもしろいテーマだとは思いますが，今回は，$\dfrac{52163}{16604}$ が発見されたところで終わりにしておきましょう。（木村本 p.64）

「短い回答」への補足

IEEE 754 の binary64 における A つまり $\dfrac{884279719003555}{2^{48}}$ の連分数展開を示します（WolframAlpha）．

\[A=[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 7, 2, 1, 1, 3, 2, 42, 2]\]

この最初の $k$ 個を使って行う浮動小数点数の除算の結果と A との差の絶対値をまとめます．$k:=14$，245850922/78256779 以降は A と等しくなります．

k M N abs(float(M/N)-A)
1 3 1 1.41592653589793116e-01
2 22 7 1.26448926734967770e-03
3 333 106 8.32196275291074983e-05
4 355 113 2.66764189404966601e-07
5 103993 33102 5.77890624242627382e-10
6 104348 33215 3.31628058347632759e-10
7 208341 66317 1.22356347276308952e-10
8 312689 99532 2.91433543964103592e-11
9 833719 265381 8.71525074330747884e-12
10 1146408 364913 1.61071156412617711e-12
11 4272943 1360120 4.04121180963556981e-13
12 5419351 1725033 2.22044604925031308e-14
13 80143857 25510582 4.44089209850062616e-16
14 245850922 78256779 0.00000000000000000e+00
15 817696623 260280919 0.00000000000000000e+00
16 1881244168 598818617 0.00000000000000000e+00
17 2698940791 859099536 0.00000000000000000e+00
18 9978066541 3176117225 0.00000000000000000e+00
19 32633140414 10387451211 0.00000000000000000e+00
20 238410049439 75888275702 0.00000000000000000e+00
21 509453239292 162164002615 0.00000000000000000e+00
22 747863288731 238052278317 0.00000000000000000e+00
23 1257316528023 400216280932 0.00000000000000000e+00
24 4519812872800 1438701121113 0.00000000000000000e+00
25 10296942273623 3277618523158 0.00000000000000000e+00
26 436991388364966 139098679093749 0.00000000000000000e+00
27 884279719003555 281474976710656 0.00000000000000000e+00

因みに，$\pi$ の連分数展開は次のとおりです（WolframAlpha, OEIS A001203）．

\[\pi=[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, 15, 3, \cdots]\]

A と $\pi$ の連分数展開で共通なのは第13項までです．ただし $3=2+\dfrac{1}{1}$ なので，そこから A はあと1項，$\pi$ はあと2項取ると，同じ有理数が得られます．245850922/78256779 はそこに現れます（OEIS A002485）．

Pi Continued Fraction (MathWorld) によると，$\pi$ の連分数展開に関連する未解決問題もあるようです．

⑥ 木村本（読者への宿題）

MBF での A は次のとおりです（WolframAlpha）．

\[\dfrac{28296951008113761}{2^{53}}=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,1,3,2,2,274,2,1,1,5,4,2,1,1,1,7]\]

浮動小数点数の計算は厳密ではないので，連分数展開を途中で打ち切っても，値は同じになるかもしれません．それを調べます．因みに，A ではなく $\pi$ の連分数展開を使っても結果は改善しません（参照）．

100 REM ***** Fraction by continued fraction.
110  DEFDBL A-H,N-X
120  U=9007199254740992#
130  T=28296951008113761#
140  A=T/U:N=T:D=U:K=32
150  P0=0:P1=1:Q0=1:Q1=0
160  FOR I=0 TO K
170    B=0:R=N
180    IF R<D THEN 220
190    R=R-D:B=B+1
200    GOTO 180
210    REM
220    P=B*P1+P0
230    Q=B*Q1+Q0
240    PRINT P;"/";Q,P/Q
250    IF A=P/Q THEN END
260    IF R=0 THEN END
270    N=D:D=R
280    P0=P1:P1=P:Q0=Q1:Q1=Q
290  NEXT I
300  END

N-BASIC と F-BASIC での結果は次のとおりで，$[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 1]$ （17個）をもとにした除算が A になります．

3 / 1         3
22 / 7        3.142857142857143
333 / 106     3.141509433962264
355 / 113     3.141592920353982
103993 / 33102              3.141592653011903
104348 / 33215              3.141592653921421
208341 / 66317              3.141592653467437
312689 / 99532              3.141592653618937
833719 / 265381             3.141592653581078
1146408 / 364913            3.141592653591404
4272943 / 1360120           3.141592653589389
5419351 / 1725033           3.141592653589815
80143857 / 25510582         3.141592653589793
165707065 / 52746197        3.141592653589793
245850922 / 78256779        3.141592653589793
411557987 / 131002976       3.141592653589793
657408909 / 209259755       3.141592653589793

③より圧倒的に早く 657408909/209259755 が得られるわけですが，これがいつも有効かというと，そういうわけではありません．

MSX-BASIC でうまく行かないのです．BCD での A つまり $31415926535898/10^{13}=[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 21, 17, 1, 1, 1, 1, 8, 1, 7, 2, 1, 2, 2]$ を目指して試します（WolframAlpha）．

120  U=10000000000000#
130  T=31415926535898#

実行結果を示します（MSXPen で実行）．

3 / 1         3
22 / 7        3.1428571428571
333 / 106     3.1415094339622
355 / 113     3.141592920354
103993 / 33102 3.1415926530119
104348 / 33215 3.1415926539214
208341 / 66317 3.1415926534674
312689 / 99532 3.1415926536189
833719 / 265381 3.141592653581
1146408 / 364913 3.1415926535914
4272943 / 1360120 3.1415926535893
5419351 / 1725033 3.1415926535897
118079314 / 37585813 3.1415926535897
2012767689 / 640683854 3.1415926535898

MSX-BASIC での正解は，おそらく①で得た 10838702/3450066 です．これを約分した 5419351/1725033 は結果に現れていますが，その結果は A ではないので，プログラムはそこでは停止しません．最終的にプログラムは停止しますが，そのときの分子・分母は 10838702/3450066 のそれよりかなり大きいです．

MSX-BASIC で 10838702/3450066 を得る方法で，①より良いものがわかりません．

おまけ

$1\,\Omega$ の抵抗を複数使って $\pi\,\Omega$ に近い抵抗を作るというパズルがあります（ここでは誤差を無視します）．

抵抗を12個使って $3.14\,\Omega$ にする例があります（参照）．

10進表示より有理数近似を意識した方がいいかもしれません．例えば，$3.14$ より $\dfrac{22}{7}$ の方が $\pi$ に近いです．

連分数が役立ちそうに見えて，そうでもありません．

$\dfrac{22}{7}r=\left(3+\dfrac{1}{7}\right)r=r+r+r+\dfrac{1}{ \dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r}}$ をそのまま回路にすると次のとおり，10個の抵抗が必要です（WolframAlphaで確認）．

A o--[1]--[1]--[1]--+--[1]--+--o B
                    |       |
                    +--[1]--+
                    |       |
                    +--[1]--+
                    |       |
                    +--[1]--+
                    |       |
                    +--[1]--+
                    |       |
                    +--[1]--+
                    |       |
                    +--[1]--+

しかし，$\dfrac{22}{7}r=r+r+\dfrac{1}{\dfrac{1}{r+r}+\dfrac{1}{r+r+\dfrac{1}{ \dfrac{1}{r}+\dfrac{1}{r+r}}}}$ を使うなら，抵抗は9個ですみます（WolframAlphaで確認）．

A o--[1]--[1]--+---------[1]--[1]--------+--o B
               |                         |
               |                         |
               +--[1]--[1]--+----[1]-----+
                            |            |
                            +--[1]--[1]--+

因みに，$\dfrac{355}{113}$ は13個ですむそうです（参照）．